Vectores

l2dj
Creado por: l2dj
Día: October 09, 2012
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  En principio, podemos considerar un vector como un segmento orientado con inicio y extremo. De esta forma podemos, en un vector, distinguir cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.

Partes Fundamentales Vectores   El punto de aplicación es el punto en el que actúa el vector. La magnitud es la longitud del segmento orientado que es proporcional a la medida que representa. Si un ciclista se desplaza a 12 mph y otro a 24 mph, el vector que representa al segundo ciclista tendrá una longitud doble que la del primero.

   La dirección de un vector es la recta que lo contiene o cualquiera de sus paralelas. Una recta horizontal puede recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, por lo que tiene dos sentidos.  Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina.

Iguales y Libres 

  Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores libres son independientes del lugar en que se encuentran.

 

Suma de Vectores Gráficamente

    Existen dos métodos para sumar vectores graficamente, estos son: la regla del paralelogramo y la regla del polígono. 

Regla del paralelogramoGrafica Paralelogramo

     Para sumar de forma gráfica dos vectores por la regla del paralelogramo se comienza dibujando los dos vectores con un mismo punto inicial. Luego se traza una recta comenzando en el punto final de un vector paralela al otro vector. Se repite, cambiando los vectores. Finalmente se une el punto inicial con el punto de intersección de las dos rectas paralelas formando el vector suma.

Regla del polígonoGrafica Poligono

    Para sumar dos o más vectores con la regla del polígono comenzamos dibujando el primer vector, luego comenzado en el extremo de este vector se dibuja el próximo vector, seguimos  hasta colocar todos los vectores a sumar. Finalmente se une el punto inicial del primer vector con el punto extremo del último vector, este forma el vector suma o resultante.

 

Producto Vector y Escalar

     Se llama producto de un vector V por un número k, al vector que tiene

  • La misma dirección del vector V. Producto Vector Escalar
  • La magnitud es igual al producto de k por la magnitud del vector V.
  • El sentido depende del signo de k
     
    • Si k es positivo tiene el mismo sentido que el vector V.

    • Si k es negativo tiene el sentido opuesto del vector V.

 

Propiedades de los Vectores

     Como toda operacón, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan su realización. Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad distributiva y el inverso aditivo.

     La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma.  Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.

    La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C)

    La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.

    La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.

 

Vector Estándar

    Aquel vector que tiene su punto inicial en el origen de un sistema de coordenadas es un vector estándar. El vector estándar de un vector V con punto inicial en (x1, y1) y Vector Estandarpunto extremo en (x2, y2) esta dado por:

 V=<x2-x1, y2 - y1>

      V=<x,y>

     La magnitud o longitud de un vector estándar V es:

  ‖V‖=√(x2+y2)

 

Ejemplo 1:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Hallar el vectror estándar y la magnitud del vector V con punto inicial en (4, -7) y punto extremo en (1, -5). Dibujar el vector V y su vector estándar.

Solución:

Ejemplo Vector Estandar

     El vector estándar de V es:

           V=<1-4, -5--7>

              V=<-3, 2> 

     La magnitud del vector V es:

              ‖V‖=√((-3)2 + (2)2)

                   ‖V‖=√(9 + 4)

                     ‖V‖=√(13)

 

Suma Algebraica de Vectores

     Sean U = <x1, y1> y  V = <x2, y2> dos vectores en el plano entonces,

U + V= <x1+ x2, y1 + y2>

 

Multiplicación de un vector y un escalar

Sean U = <x1, y1>  un vector en el plano y k un escalar (Constante) entonces,

     kU = k<x1, y> = <kx1, ky1>

 

Ejemplo 2:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Dado los vectores U=<-1, 4>  y V=<5, -12>, halle lo siguiente.

  1. 2V                                            2. U-V                                           3.  2U-V

Solución:

 1. 2V = 2<5, -12> = <10, -24>

 2. U - V = <-1, 4> -  <5, -12> = <-6, 16>

 3. 2U - V = 2<-1, 4> - <5, -12> = <-2, 8> - <5, -12> = <-7, 20>

 

Vectores Unitarios

    Si V es un vector en el plano diferente de cero entonces, el vector unitario en la direccion de V es U. Estos vectores unitarios se utilizan para representar la direccion de otros vectores en términos de sus componentes.

Vectores Unitarios

 

 Formula Vector Unitario

     La magnitud del vector V es diferente de una unidad.

     La magnitud del vector U es igual a una unidad.

     La dirección de los vectores V y U es la misma.  

Ejemplo 3:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Hallar un vector unitario en la dirección de V = <5, -2>.

Solución:

   Ejemplo Vector Unitario          

 

 

    Comenzamos buscando la magnitud del vector V. Luego se ecribe la fórmula del vector unitario en la dirección de V. Después se sustituye el vector V y su magnitud en esta fórmula. Finalmente se simplifica la expresión.

 

Vectores Unitarios Estándar

Vectores Unitarios Estandar

     Los vectores <1, 0> y <0, 1> son llamados vectores unitarios estándar : i = <1, 0> y j = <0, 1>. Estos se utilizan para representar cualquier vector.

  V= <x, y> = x<1, 0> + y<0, 1> = xi + yj

     Esta forma de expresar un vector se la llama combinación lineal, donde x y y son los componentes horizontal y vertical de cada vector.

Ejemplo 4:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Sea V un vector con punto inicial en P = (-12, 5) y punto extremo en Q = (-10, 3). Escribe el vector V como un combinación lineal.

Solución:

Ejemplo Vector Unitario Estandar     

     Se escribe la fórmula para buscar el vector estándar de V. Se sustituyen las coordenadas de los puntos inicial y extremo. Se efectúan las operaciones en el orden  correcto.

 

 Ángulos Directores

Angulo directores     Si V= xi + yj es cualquier vector en el plano, tal que Θ es el ánglo entre el vector y el lado positivo del eje de x. Entonces podemos escribir el vector:

V= ‖V‖<cosΘ, senΘ>

V= ‖V‖cosΘi + ‖V‖senΘj

     Los Componentes x y y del vectror se pueden escribir de la siguiente forma:

x= ‖V‖cosΘ

y= ‖V‖senΘ

Ejemplo 5:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Sea V un vector con una magnitud de 16 unidades y cuya dirección forma un ángulo de 240 grados en posición estándar. Busque los componentes del vector V.

Solución:

 Ejemplo Angulos Directores      

    

    Se escribe la fórmula para buscar los ángulos directores del vector.

 

 

    Se sustituyen la magnitud y el ángulo en posición estándar.

 

     Efectuar las operaciones en el orden  correcto.

 

 

Ejemplo 6:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Un avión mantiene una velocidad constante de 500 mph en dirección sur. La velocidad del viento es de 80 mph en dirección noreste. Encuentre la rapidez actual  y la dirección del avión.

Solución:

     Dibujar diagrama que describe la situación.

                 Ejemplo Aplicaciones

     Buscar los componentes de los vectores del problema.

       Aplicacion Componentes

      

  Buscar la resultante (la rapidez actual del avión) del problema.  

 

 Aplicacion Resultante

 

     Buscar el ángulo de dirección del vector resultante.

            Aplicacionn Angulo

Producto Escalar

     El resultado al multiplicar dos vectores es un número, no es un vector, por lo que esta operación se denomina producto escalar. Se determina multiplicando las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo que se forma entre ellos. Sea la magnitud de los vectores V y W y el ángulo entre ellos conocido entonces,

Formula 1 Producto Escalar 

Grafica Producto Escalar 

         Formula Producto Escalar 2

      Es decir, se multiplica la componente x del primer vector por la componente x del segundo vector, se realiza la misma operación con las componentes y para luego sumar los resultados.

     El producto escalar entre los vectores V y W grafica mente representa el área de un rectángulo.      

 

Ejemplo 7:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Halle el ángulo entre los vectores U=2i + 3j y V=5i + j.

Solución:

          Ejemplo Producto Escalar