Transformaciones de Funciones

l2dj
Creado por: l2dj
Día: June 25, 2012
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      Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x2 y f(x)=׀x׀ las conocemos. Cada una de ellas tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función llamadas transformaciones. Estas transformaciones afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las expansiones - compresiones son las transformaciones a estudiar.

                            Transformaciones      

 Desplazamientos (Traslaciones)

       Las traslaciones son transformaciones que cambian la posición de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se traslada hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Las traslaciones son consideradas transformaciones rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.

     Traslaciones verticales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

          Suponga que k > 0

               Para graficar y=f(x)+k, desplace la gráfica de  k  unidades hacia arriba.

               Para graficar y=f(x)-k, desplace la gráfica de  k  unidades hacia abajo.

 

                             Traslaciones Verticales


Ejemplo 1:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x)=x2 para bosquejar la gráfica de y = f(x) + 2 y y = f(x) - 2. 

 Solución:

Ejemplo Traslacion Vertical


    La gráfica de f(x)=x2 se llamará gráfica de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

    La gráfica de y =f(x) + 2 es la gráfica modelo desplazada dos unidades hacia arriba. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen sumando 2 a las y. Los nuevos puntos son; (-1, 3), (0, 2) y (1, 3).


    La gráfica y= f(x) - 2 es la gráfica de la función modelo desplazada dos unidades hacia abajo. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos desplazados se obtienen restando dos a las y. Los nuevos puntos son; (-1, -1), (0, -2) y (1, -1).


     Traslaciones horizontales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

          Suponga que h > 0

               Para graficar y=f(x-h), desplace la gráfica de  h unidades hacia la derecha.

               Para graficar y=f(x+h),desplace la gráfica de  h unidades hacia la izquierda.

                         Traslaciones Horizontales


Ejemplo 2:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x)=x2 para bosquejar la gráfica de y = f(x-2) y y = f(x+4)

Solución:

Ejemplo Traslacion Horizontal


  La gráfica de f(x)=x2 se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

  La gráfica de y =f(x-2) es la gráfica modelo desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos puntos son; (1, 1), (2, 0) y (3, 1). 

  La gráfica y= f(x+4) es la gráfica de la función modelo desplazada cuatro unidades hacia la izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos desplazados se obtienen restando cuatro a las x. Los nuevos puntos son; (-5, 1), (-4, 0) y (-3, 1).



Reflexiones (presione aquí para verlo en forma interactiva)

     La reflexión o volteo es la imagen de espejo de una figura.  También se puede decir que es el volteo de puntos y gráficas alrededor de los ejes.

Para graficar y=-f(x) refleje la gráfica de y=f(x) en el eje x. (Reflexión vertical)

Para graficar y=f(-x), refleje la gráfica de y=f(x) en el eje y. (Reflexión horizontal)

                                    Reflejos

Ejemplo 3:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x) = √(x) para bosquejar la gráfica de y = -f(x) y y = f(-x).

Solución:

Ejemplo Reflejos


  La gráfica de f(x)=√(x) se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (0, 0) y (1, 1).

   La gráfica de y = -f(x) es la gráfica modelo reflejada con respecto al eje de x. Por lo tanto en los puntos reflejados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen buscando el opuesto de las y. Los nuevos puntos son; (0, 0) y (1, -1). 

   La gráfica y = f(-x) es la gráfica de la función modelo reflejada con respecto al eje de y. Por lo tanto en los puntos reflejados cambian las x, los nuevos puntos desplazados se obtienen buscando el opuesto de las x. Los nuevos puntos son; (0, 0) y (-1, 1).

 

Expansiones y Compresiones

     Las expansiones y compresiones son transformaciones que cambian el largo o el ancho de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se expande o comprime verticalmente u horizontalmente. Las expansiones y compresiones son consideradas transformaciones no rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.

     Expansiones y compresiones verticales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Para graficar y=af(x)

      Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga)

      Si 0<a<1, la gráfica de y=f(x) se comprime verticalmente por un factor a. (Se encoge)

                             Deformaciones Verticales

Ejemplo 4:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la grafica de f(x) =│x│ para bosquejar la gráfica de y = 2f(x) y y = ½f(x).

Solución:

Ejemplo Deformacion Vertical


  La gráfica de f(x) =│x│ se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

  La gráfica de y = 2f(x) es la gráfica función modelo alargada verticalmente por un factor de dos unidades. Por lo tanto en los puntos alargados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen multiplicando dos todas las y. Los nuevos puntos son; (-1, 2), (0, 0) y (1, 2). 

  La gráfica y = ½f(x) es la gráfica de la función modelo encogida verticalmente por un factor de un medio. Por lo tanto en los puntos encogidos cambian las y, los nuevos puntos se obtienen multiplicando un medio a todas las y. Los nuevos puntos son; (-1,½), (0, 0) y (1, ½).

 

     Expansiones y compresiones horizontales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

     La gráfica de y=f(bx):

         Si b>1, la gráfica de y=f(x) se comprime horizontalmente por el factor 1/b. (Se encoge)

         Si 0<b<1, la gráfica de y=f(x) se expande horizontalmente por el factor de 1/b. (Se alarga)

                               Deformaciones Horizontales

 Ejemplo 5:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la grafica de f(x) =│x│ para bosquejar la gráfica de y = f(2x) y y = f(½x).

Solución:

Ejemplo Deformacion Horizontal


  La gráfica de f(x) =│x│ se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

  La gráfica de y = f(2x) es la gráfica de la función modelo encogida horizontalmente por un factor del reciproco de dos unidades. Por lo tanto en los puntos encogidos cambian las x, los nuevos puntos se obtienen multiplicando por el reciproco de dos todas las x. Los nuevos puntos son; (-½, 1), (0, 0) y (½, 1). 

 La gráfica y = f(½x) es la gráfica de la función modelo alargada horizontalmente por un factor del reciproco de un medio. Por lo tanto en los puntos alargados cambian las x, los nuevos puntos se obtienen multiplicando el reciproco de un medio todas las x. Los nuevos puntos son; (-2,1), (0, 0) y (2, 1).

     Generalmente en las gráficas a dibujar se tienen que aplicar varias transformaciones. Es  recomendado aplicar las transformaciones de reflejos y deformaciones inicialmente  y luego se aplican las transformaciones de traslaciones. Veamos algunos ejemplos.  

Ejemplo 6:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Dibujar la gráfica la función f(x)=[½(x-2)]3+1

Solución:

Ejemplo Transformaciones    La gráfica de f(x)=x3 se llamará  gráfica de la función modelo.  Los puntos principales de la gráfica de esta función son; (-1, -1), (0, 0) y (1, 1).

 

    La gráfica de f(x)=(½x)3 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2.

    La gráfica de f(x)=[½(x-2)]3 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2 y desplazada hacia la derecha 2 unidades.

   La gráfica de f(x)=[½(x-2)]3+1 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2, desplazada hacia la derecha 2 unidades y 1 unidad hacia arriba.

 


Ejemplo 7:   (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Escribe la función representada en la siguiente gráfica. 

Grafica Semicirculo

 

Solución:

    El semicírculo es el modelo de la gráfica la función.

    Contamos los espacios que forman el diámetro del semicírculo y su mitad es el radio de esté. El diámetro es 6 por lo tanto el radio es 3.

    Ahora se determina el desplazamiento horizontal. Cuanto se desplaza la gráfica del semicírculo a la derecha o izquierda. En esta ocasión se desplazo 1 unidad  a la izquierda.

   Finalmente se determina el desplazamiento vertical. Cuanto se desplaza la gráfica del semicírculo hacia arriba o abajo. Esta gráfica se desplaza 1 unidad hacia abajo.

    Ecuación:    

          Semicirculo 1       Semicirculo 2