Secciones Cónicas

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Creado por: l2dj
Día: January 03, 2013
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    Durante toda la historia de la matemática los conceptos han sido más importantes que la terminología utilizada. Sin embargo, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual.

     En el pasado, se referían a ellas por la forma común a como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo, y secciones de un coco obtuso.  Arquímedes continúo utilizando estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de Arquímedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas.

    Ellipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada).

    Hyperbola (de "avanzar más allá") se adoptó para el caso en que el área excedía el segmento dado y por último la palabra http://ima.ucv.cl/librocalculo/Nuevo/swptransparent.gifParabola (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplicó estas palabras en un contexto nuevo utilizándolas con nombres para las secciones cónicas.

     Las secciones cónicas se forman al cortar un cono recto con un plano. El ángulo en que el plano corta el cono determina la sección cónica formada. Estas son el círculo, la parábola, la elipse y la hipérbola.

Parábolas

    La Parábola que es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo y una recta fija.

Definicion Parabolas

  

  

 Foco (F) es el punto fijo.

 

Directriz (D) es la recta fija.

 

Eje es la línea que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

 

Vértice es el punto medio del segmento que va del foco a la  directriz.

 

Lado recto es el segmento perpendicular al eje que une dos puntos en la parábola pasando por el foco.

 

Ecuación estándar de la parábola con vértice en el origen

        Ecuación estándar de la parábola que abre hacia la derecha o hacia la izquierda.

y2=4ax, donde a≠0

 

Vértice: V=(0, 0)

 

Foco: F=(a,0)

 

Directriz: x=-a

 

Eje horizontal: y=0

 

Lado recto: 4a

 

  Parabola Origen Horizontal

 Ecuación estándar de la parábola que abre hacia arriba o hacia abajo.

x2=4ay, donde a≠0

Vértice: V=(0, 0)

 

Foco: F=(0, a)

 

Directriz: y=-a

 

Eje horizontal: x=0

 

Lado recto: 4a

  Parabolas origen vertical

 

Ejemplo 1: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

     Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de y2=4x. 

Solución: 

     La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje horizontal que abre hacia la derecha.      

Parabola Ejemplo 1

   

     Se busca el valor de  que es igual a 1. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.

 

 

          Vértice: V=(0, 0)

 

          Foco: F=(1,0)

 

          Directriz: x=-1

 

          Eje horizontal: y=0

 

          Lado recto: 4a=4

 

 

Ejemplo 2: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

     Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de x2=-8y.

Solución:

     La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje horizontal que abre hacia la derecha.

Parabola Ejemplo 2

 

             Se busca el valor de a que es igual a 2. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.

     

Vértice: V=(0, 0)

 

Foco: F=(0,-2)

 

Directriz: y=2

 

Eje vertical: x=0

 

Lado recto: 4a=8

 

          Al dibujar gráficas de parábolas con el vértice fuera del origen se aplican las transformaciones, o sea, dibujar la gráfica con vértice en el origen y luego se traslada. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

     Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de (x-1)2=-12(y+1).

Solución: 

     La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje vertical que abre hacia abajo.      

Parabola Ejemplo 3

 

   

     Se busca el valor de a que es igual a 3. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.

 

     Finalmente se traslada la gráfica una unidad a la derecha y otra hacia abajo.

 

Vértice: V=(1, -1)

 

 Foco: F=(1,-4)

 

 Directriz: y=2

 

 Eje vertical: x=1

 

 Lado recto: 4a=12