Método de Gauss

l2dj
Creado por: l2dj
Día: October 16, 2012
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     El Método de Eliminación de Gauss - Jordan, es un algoritmo del algebra lineal para determinar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, encontrar matrices equivalentes e inversas. 

     Un sistema de ecuaciones se resuelve por el Método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Este método transforma la matriz de los coeficientes en una matriz triangular superior. El Método de Gauss - Jordan es el método que transforma la matriz de los coeficientes en una matriz identidad.

    El método de Gauss Jordan utiliza operaciones de fila en la matriz aumentada para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. En la siguiente figura se presenta un ejemplo de una matriz de los coeficientes y una matriz aumentada.

 

           Matriz Coeficientes  

     Matriz de los coeficientes  

     Matriz Aumentada 

        Matriz aumentada

  

    Dos matrices aumentadas son equivalentes según sus filas si estas son de sistemas de ecuaciones equivalentes. Las operaciones de reemplazo de filas siguientes transforman matrices aumentadas en matrices aumentadas equivalentes:

1.  intercambiar dos filas de posición

2.  multiplicar una fila por una constante distinta de cero

3.  sumar o restar una fila y un múltiplo de otra fila

 

Ejemplo 1Ejemplo Operaciones Fila

     Efectue la operación elemental de fila, intercambiar las filas  uno y dos en  


Solución:

Ejemplo Intercambiar Filas      Esta operación consiste en colocar la fila 2 en la posición de la fila 1 y viceversa

 

 

Ejemplo 2Ejemplo Sistema Multiplicar

     Efectue la operación elemental de fila, multiplicar la fila dos por tres en 

Solución:

Ejemplo Multiplicar constante Fila      Esta operación consiste en reemplazar la fila 2 por la fila 2 multiplicada por 3.

 

 

Ejemplo Sistema MultiplicarEjemplo 3

    Efectue la operación de fila, multiplica la fila 1 por 3 y sumala a la fila 2 en

Solución:

        Matriz Aumentada Ejemplo 3

Operación Sumar y Multiplicar

      Matriz Aumentada Solucion Ejemplo 3

     

 

     Esta operación consiste en reemplazar la fila 2 por la suma de 3 veces la fila 2 y la fila 2. se escribe la fila 1 multiplicada por 3. Debajo de esta fila se coloca la fila 2. Después se suma hacia abajo para luego escribir la matriz con la fila 2 reemplazada. La nueve matriz anterior y la segunda con nueva fila 2.

 

 

     Para resolver un sistema de ecuaciones usando una matriz aumentada, se escribe la matriz aumentada del sistema. Luego se transforma esta matriz en una matriz triangular superior equivalente y se procede a resover el sistema de ecuaciones correspondiente. Ver el siguiente ejemplo:

 

 

Ejemplo 4Ejemplo 4  (Click aqui para ver el ejemplo en forma interactiva)

 

     Resuelve el siguente sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices

 

Solución:

 

     El primer paso consiste en escribir la matriz aumentada del sistema con todas la ecuaciones ordenadas. Las variables organizadas en el mismo orden en cada ecuación del sistema.

 

Matriz Aumentada Ejemplo 4   

     Se organizan todas las ecuaciones en el mismo orden y luego se escribe la matriz aumentada que representa el sistema de ecuaciones dado.

 

     El segundo paso consiste en realizar operaciones de fila en la matriz aumentada hasta transformarla en una matriz cuyos elementos de la diagonal principal sean uno y los elementos debajo de la diagonal principal sean ceros. 

 

Ejemplo 4 Solución Intercambiar Filas

  

Ejemplo 4 Intercambiar Filas

  

 

    La primera operación de fila es intercambiar la fila 1 y la fila 2.

Ejemplo 4 Solución Ceros Fila 2 Columna 1

 

 Ejemplo 4 Cero Fila 2 Columna 1

 

 

     Se reemplaza la fila 2 por la fila 2 menos 2 veces la fila 1.

Ejemplo 4 Solucion Cero Fila 3 Columna 1

  

 Ejemplo 4 Cero Fila 3 Columna 1

 

 

     Se reemplaza la fila 3 por la fila 3 menos 3 veces la fila 1.

Ejemplo 4 Solucion Una Fila 2 Columna 2

  

 Ejemplo 4 Una Fila 2 Columna 2

 

 

     Se reemplaza la fila 2 por negativo un quinto la fila 2.

Ejemplo 4 Solución Cero Fila 3 Columna 2

  

 Ejemplo 4 Cero Fila 3 Columna 2

 

 

     Se reemplaza la fila 3 por la fila 3 más 10 veces la fila 2.

Ejemplo 4 Solucion Uno Fila 3 Columna 3

  

 Ejemplo 4 Uno Fila 3 Columna 3

 

 

     Se reemplaza la fila 3 por menos un septimo fila 3.

 

     El tercer paso consiste en transformar la matriz triangular superior en un sistema de ecuaciones. Luego se realizan sustituciones para hallar las variables que faltan. En este ejemplo se conoce el valor de Z. Luego buscamos el valor de Y y el valor de X.

 

 Ejemplo 4 Sistema Triangular

      Ejemplo 4 Hallar Y

Ejemplo 4 Hallar Z 

 

  

      Escribir el sistema equivalente a la matriz aumentada en forma reducida.

 

     Se busca el valor de y sustituyendo el valor de z y despejando para y.

 

     Se busca el valor de x sustituyendo el valor de y y el valor de z. Luego se despeja para x. 

 

         El sistema se clasifica como consistente independiente y la solución es el punto (1, 2, 0).