Gráficas de Funciones Sinusoidales

l2dj
Creado por: l2dj
Día: June 30, 2012
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            Las gráficas de las funciones  seno y coseno del ángulo se le considera ondas sinusoidales porque poseen propiedades matemáticas muy interesantes como amplitud, período y desfase entre otras.

Es necesario estudiar de qué manera A, b, h y la suma de una constante k afectan el comportamiento de estas gráficas. Esto permitirá “trazar estas gráficas rápidamente”. En la gráfica de abajo se presentan algunas gráficas sinusoidales.

 

Gráficas sinusoidales

 

            Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=Asen[b(x-h)]+k o y=Acos[b(x-h)]+k. La expresión en el corchete se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y representa el alcance (imágenes).

            Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x,  tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (período). La extensión sobre el eje de y se conoce como amplitud. Veamos cada característica en detalle.

 

Amplitud (presione aquí para verlo en forma interactiva)Amplitud

 

     Sean y=Asen[b(x-h)]+k y y=Acos[b(x-h)]+k  las funciones trigonométricas del seno y coseno del ángulo entonces, la amplitud (expansión - compresión vertical) es la mitad de la distancia entre el valor mínimo y el valor máximo.

Amplitud = ‖A‖

 

 

Periodo

Período (presione aquí para verlo en forma interactiva)

 

          Sean y=Asen[b(x-h)]+k y y=Acos[b(x-h)]+k las funciones trigonométricas del seno y coseno del ángulo entonces, el período (expansión - compresión horizontal) es la duración o tamaño de un ciclo completo.

Período  T=2π/b

 

 

 

Desfase (presione aquí para verlo en forma interactiva)Desfase

 

          Sean y=Asen[b(x-h)]+k y y=Acos[b(x-h)]+k las funciones trigonométricas del seno y coseno del ángulo entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio en la posición horizontal a la derecho o izquierda del eje de y h unidades. Hacia la derecha si, h>0 y hacia la izquierda si, h<0.

Desfase=h

 

 

Traslación verticalTraslación vertical (presione aquí para verlo en forma interactiva)

 

     Sean y=Asen[b(x-h)]+k y y=Acos[b(x-h)]+k las funciones trigonométricas del seno y coseno del ángulo entonces, la traslación vertical es el cambio en la posición vertical arriba o abajo del eje de x k unidades. Hacia arriba si, k>0 y hacia abajo si, k<0.

Traslación Vertical=k

 

 

AlcanceAlcance

 

     Sean y=Asen[b(x-h)]+k y y=Acos[b(x-h)]+k las funciones trigonométricas del seno y coseno del ángulo entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la función. Desde el valor mínimo hasta el valor máximo incluidos.

Alcance=[k-‖A‖, k+‖A‖]

 

 

Ejemplo: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

     Trace la gráfica de la función y=-2sen(x+π/2)+1

Solución:Gráfica ejemplo

   Se obtienen de la función

    A=-2, b=1, h=-π/2  y  k=1

 Características:

Amplitud = ‖A‖= ‖-2‖=2

Desfase = h=-π/2

Período=T=2π/b=2π/1=2π

Traslación vertical=k=1

Alcance=[k-‖A‖,k+‖A‖]=[-1, 3]

Reflejo vertical = el opuesto de A

 

     Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función seno del ángulo. Luego se dibuja la caja que representa el alcance, la desfase y el período. Dividir el período en cuatro partes iguales. Despues localizar los puntos principales de la gráfica modelo reflejados verticalmente. Finalmente se dibuja la gráfica pasando por  estos puntos.