Funciones Polinómicas

l2dj
Creado por: l2dj
Día: July 07, 2012
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       Una  Función Polinómica tiene la forma f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0x0, donde los coeficientes numéricos an, an-1, …, a0 son números reales y los exponentes de las variables n, n-1, …, 0 son números enteros no negativos. El término principal es anxn e indica el grado n de la función mientras que el término constante es a0x0.

 

Ejemplo 1:

f(x)=-3x5-7.4x4+πx2- x -2 es una función polinómica de grado 5.

Gráfica función Polinómica

 

     La gráfica de una función polinómica es una curva suave y continua. Una curva continua es aquella que no presenta huecos, saltos o brincos. La curva suave es aquella que no presenta esquinas o picos. En otras palabras se puede trazar sin levantar el lápiz del papel.

 

Características de las gráficas de las funciones polinómicas

1) Tiene como máximo n interceptos en el eje de x.

2) Tiene como máximo n-1 puntos de cambio.

3) Los extremos de su gráfica tienden a infinito. Estos quedan generalizados por el termino principal anxn. Veamos las distintas posibilidades,

a) Si an>0 y n par entonces, ambos extremos tienden a positivo infinito.

b) Si an<0 y n par entonces, ambos extremos tienden a negativo infinito.

c) Si an>0 y n impar entonces, los extremos tienden a distintos infinitos. El extremo de la gráfica de la izquierda a negativo infinito y el de la derecha a positivo infinito.

d) Si an<0 y n impar entonces, los extremos tienden distintos infinitos. El extremo de la gráfica de la izquierda a positivo infinito y el de la derecha a negativo infinito.

 

Procedimiento para el trazado de la gráfica

Determinar hacia donde se dirigen los extremos de la gráfica.

 

Hallar las intersecciones en los ejes.

Escribir la función en froma factorizada comprimiendo en forma exponencial (veces que se repite un factor, esto es la multiplicidad del factor).

Dibujar las intersecciones y los extremos de la gráfica.

 

Indicar los intervalos donde la función es positiva y negativa.

 

Completar el trazado de la gráfica.

 

Ejemplo 2: (presione aqui para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de f(x)=-x4+4x2

Solución:

     Ambos extremos se dirigen a negativo ifinito.

       Intersecciones en los ejes son (-2,0), (0,0) y (2,0) y su forma factorizada es f(x)=-x2(x+2)(x-2)

     El dibujo de las intersecciones y los extremos es:

           Extremos ejemplo

    Intervalos donde la función es positiva son (-2,0) y (2,0) y los intervalos donde la función es negativa son (-∞,-2) y (2,∞).

           

Trazar la gráfica:

Grafica ejemplo

 Teoría para lograr la factorización de una función polinómica de grado n

     Usaremos la teoría para lograr la factorización de la función en caso de que no se le puedan aplicar las factorizaciones convencionales.

      Toda función polinómica de grado n≥1 con coeficientes numéricos  complejos tiene al menos un cero complejo.

Teorema #1 Forma factrorizada de la función polinómica

     Toda función polinómica de grado n tiene n factores lineales, f(x)=an(x-c1)(x-c2)…(x-cn), donde c1, c2,…,cn son sus n ceros.

Teorema #2 Teorema del residuo

     Al dividir una función polinómica f(x) entre x-c entonces, el residuo será f(c).

Teorema #3 Teorema del factor

     Si al dividir f(x) entre x-c obtenemos residuo cero entonces, c es un cero de f(x). 

 Teorema #4  Teorema de los ceros racionales

    Si p/q es un cero racional de la función polinómica f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0x0 entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an. Al aplicar este teorema a la función creamos el conjunto de posibles ceros racionales de f(x).

    Ahora necesitamos una herramienta que nos ayude a determinar cuales de todos estos posibles ceros son verdaderos ceros de la función. Tenemos dos opciones i) sustituir directamente en la función y ver si se obtiene cero como resultado de lo contrario no lo es. Esta opción presenta el inconveniente de la multiplicidad de dicho cero en la factorización de f(x) y la ii) es usar división sintética junto con los teoremas 1, 2 y 3 para hallar cada uno de los ceros de f(x) y sus multiplicidades.