Día: February 21, 2013
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Una ecuación cuadrática en
una variable es de la forma:
La máxima cantidad de
soluciones reales o diferentes valores reales que puede asumir la variable x
en una ecuación cuadrática es dos como lo indica su grado. Hay
distintos métodos que pueden ser utilizados para hallar sus soluciones, los mismos
son aplicados de acuerdo a la composición que tenga la ecuación cuadrática que
se esté trabajado. Discutiremos tres distintos métodos: Método de la raíz,
Método de Completar el cuadrado y la Fórmula Cuadrática.
I. Método de la raíz
El método de la raíz
se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadráticas que tan sólo
tengan un término con variable y sea el cuadrático, de haber varios términos
cuadráticos tienen que ser semejantes. Si al simplificar la ecuación, quedan
términos lineales entonces no es aplicable el método.
Ejemplo 1:
A cuáles
de las siguientes ecuaciones cuadráticas le podemos aplicar el Método de
la raíz.
1. 3X – 7X2 =9
2. (X-1)2 + 6 =9
3. (3X+1)2- 6 = -5+(X-4)2
4. (3X+1)2 =
4 - 9(3X+1)2
Respuestas:
1.
No, porque tiene término con variable lineal.
2.
Sí, porque tiene un sólo
término con variable cuadrático (elevado a la dos).
3.
No, porque los términos cuadráticos no son
semejantes.
4.
Sí, porque los términos cuadráticos son
semejantes.
Pasos para resolver una
ecuación cuadrática por el Método de la raíz
1. Rescribir la ecuación
con el término cuadrático de un lado de la igualdad, del otro, las
constantes.
2. Verificar cuál de
los tres siguientes casos aplica:
Caso
1: Dos soluciones complejas reales:
(X-h)2 = k, k > 0
Caso 2:
Una única solución real:
(X-h)2 = k, k = 0
Caso
3: Ninguna solución real:
(X-h)2 = k, k < 0
3. Verificar que el
coeficiente numérico de la variable sea 1, de no serlo divida todos los términos de la ecuación entre tal coeficiente.*
4. Aplique la raíz
cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde añadir el
signo + y - del lado de las constantes).
5. Divida su resultado en
dos diferentes casos, uno usando la suma (+) y el otro usando la
resta (-), si aplica, y resuelva cada ecuación hasta dejar la variable sola.
6. Verifique sus
soluciones en la ecuación original y concluya su conjunto solución. ( opcional)
Veamos los siguientes ejemplos...
Ejemplo 2:
Determine las soluciones para 3(x+5)2-4=8. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático
sea uno.
Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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Ejemplo 3:
Determine las soluciones para 4(2x-1)2+6=9. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.
Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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Ejemplo 4:
Determine las soluciones para [(x+5)/3]2+12=12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.
Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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Ejemplo 5:
Determine las soluciones para 2x2+6x+8=3(x2+2x)+12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.
Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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El conjunto solución de la ecuación en los números reales es nulo, bajo el conjunto de los números complejos es x = -2i y x = 2i.
II. Método de Completar el Cuadrado
Para poder utilizar el
Método de Completar el Cuadrado la ecuación cuadrática debe tener término
lineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar.
Ejemplo 6:
Determine cuál de
las siguientes ecuaciones puede ser trabajada Completando el Cuadrado:
1) X2 +7=3 Si / No
2) X(X-2)-4=9 Si / No
3) X +7=3 Si / No
Respuestas:
1) No, porque no tiene el término con variable lineal.
2) Sí, porque tiene el término con variable cuadrático y el término con variable lineal.
3) No, porque no tiene el término cuadrático.
Este método tiene el
objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado
perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). La
ecuación es de la forma:
(x-h)2=
..., luego se resuelve por el método de la raíz.
Pasos
para aplicar el Método de Completar el Cuadrado
1) Rescriba la ecuación con los términos con variables
de un lado, simplificados y ordenados,
del otro la constante.
2) Asegúrese que a
sea 1, de no serlo divida todos los términos entre a y simplifique.
3) Determine b y con el calcule (b/2)2
y sume tal resultado en ambos lados de la ecuación.
4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado
Perfecto de la forma: [x+(b/2)]2
5) Resuelva la ecuación por el método de la raíz
6) Verifique y concluya su conjunto solución.
Veamos los siguientes ejemplos...
Ejemplo 7:
Determine las soluciones para x2-8x+14=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver despejar para la constante.
Buscar el número que completa el cuadrado y sumarlo en ambos lados de la ecuación.
Factorizar un lado de la ecuación y simplificar en el otro.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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Ejemplo 8:
Determine las soluciones para 3x2-12x-15=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver despejar para la constante.
Buscar el número que completa el cuadrado y sumarlo en ambos lados de la ecuación.
Factorizar un lado de la ecuación y simplificar en el otro.
Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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III. Fórmula Cuadrática
La Fórmula Cuadrática puede ser aplicada a toda ecuación cuadrática.
Este es el único método que no tiene restricciones en su aplicación, contrario a los métodos ya discutidos. Al igual que el método de factorización este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otro cero, ax2+bx+c=0 para así poder determinar con precisión a, b, c, los correspondientes valores de los coeficientes numéricos en cada término del polinomio para luego sustituirlos en la estructura de la Fórmula Cuadrática:
Es importante apreciar que en la fórmula se sustituyen solo los coeficientes numéricos (no las variables). La variable es precisamente la desconocida que estamos buscando, que asumirá los valores obtenidos de la sustitución y simplificación en la fórmula cuadrática.
Pasos para resolver la ecuación usando la Fórmula Cuadrática
1) Rescriba la ecuación con todos los términos de un lado de la igualdad, simplificados y ordenados, del otro cero así: ax2+bx+c=0.
2) Determine los valores de los coeficientes numéricos. Para facilitar los cálculos en la sustitución en caso de estos ser fracciones o decimales puede rescribir la ecuación por una equivalente más simple.
3) Sustituir los valores de a, b, c (sin la variable) en la Fórmula Cuadrática:
Y simplifique (recuerde separar en dos ecuaciones, si aplica, una usando la operación resta y otra la operación suma).
4) Verifique los valores obtenidos en la ecuación original y concluya su conjunto solución.
Ejemplo 9:
Determine las soluciones para 4x2-12x+9=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)
Solución:
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Escribir la ecuación a resolver en forma general.
Identificar los valores de a, b y c.
Buscar el discriminante para identificar cuantas soluciones tiene la ecuación.
Escribir la formula cuadrática, sustituir los valores de a, b y el discriminante.
Evaluar y simplificar la expression.
Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.
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Cantidad soluciones reales de una ecuación cuadrática:
Para determinar
la cantidad de soluciones reales o raíces que ha de tener una ecuación
cuadrática se utiliza los resultados que se obtienen de la evaluación del
radicando b2-4ac de la fórmula cuadrática, este se conoce
como discriminante. Las raices de la ecuación cuadratica dependen
del valor del discriminante, podemos saber si tendrá dos raices reales,
dos raices complejas (imaginarias) o una única solución real.
Conclusiones:
1. Si b2-4ac=0 entonces la ecuaión cuadrática tiene una única solución real.
2. Si b2-4ac>0 entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.
3. Si b2-4ac<0 entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
Veamos los siguientes ejemplos:
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