Coordenadas Polares

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Creado por: l2dj
Día: December 08, 2011
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sistem polar y rectangular   El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. En este sistema de coordenadas  todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al  polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano).

     El matemático, quien se atribuyo el haber empleado por primera vez las coordenadas polares fue James Bernnoulli, que las introdujo en 1691, No ostante existe  cierta evidencia de que Isaac Newton pudo haberlas utilizado con anterioridad.

 Gráficar Puntos    Si queremos localizar un punto (r, θ) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación θ  y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.

     También podemos tener distancias con direcciones negativas: una vez localizado el ángulo, la recta que parte  del polo en esa direccion tendrá un radio con direccion positiva y los puntos que esten sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendran un radio con direccion negativa como se muestra en la figura de la derecha.

      Las coordenadas rectangulares (x,y) y las coordenadas polares (r,θ) del punto  P se relacionan de la siguiente forma:

Relacion Coordenadas

 

          Se utilizan para cambiar a coordeandas rectangulares.

                           x = r cos(θ)         y = r sen(θ)

  

         Se utilizan para cambiar a coordenadas polares.

                         r2 = x2 + y2             tan(θ) = y / x

 

 Gráfica Polar Gráficas Polares

     La gráfica de una ecuación con las variables en coordenadas polares r y θ es el conjunto de de todos los puntos p tales que p tiene algún par de coordenadas polares (r, θ) que satisface la ecuación dada. La gráfica de una ecuación polar se construye utilizando una tabla de valores de r contra θ y después graficando los puntos correspondientes (r, θ) en papel de coordenadas polares. Otra forma es utlizar modelos de algunas de las gráficas polares más comunes.  

 

     Veamos algunos de estos modelos de gráficas polares. Comenzamos con las ecuaciones de las rectas inclinadas, horizontales y verticales.

Ecuaciones Rectas en Polares

 

     Las rectas inclinadas cuya ecuación es θ=α se dibujan hacia los extremos del lado terminal del ángulo α.

     Las rectas horizontales que su ecuación es rsen(θ)=b se dibujan b unidades arriba del polo si, b > 0 y se dibuja b unidades debajo del polo si, b < 0.

     Las rectas verticales con ecuación rcos(θ)=a se dibujan a unidades a la derecha del polo si, a > 0 y a unidades a la izquierda del polo si, a < 0. 

 

 

     Seguimos con los círculos con centro en el polo, eje polar y la recta θ=90°.

Circulos en Polares

 

    Los círculos con ecuaciones r=a se dibujan con centro en el polo y radio a unidades.

    Los círculos cuya ecuaciones r=±2acos(θ) se dibujan desde el polo hasta 2a unidades a la derecha del polo si, el signo es positivo y se dibujan dese el polo hasta 2a unidades a la izquierda del polo si, el signo es negativo.

    Los círculos cuya ecuación es r=±2asen(θ) se dibujan desde el polo hasta 2a unidades arriba del polo si, el singo es positivo y se dibujan desde el polo hasta 2a unidades abajo del polo si, el signo es negativo.

 

     Otro modelo de las gráficas polares es el Caracol o Limacón. Las formas particulares de cada caracol son cardioide, caracol con lazo, caracolo sin lazo (caracol con hendidura y el caracol convexo).

     Los caracoles tienen ecuación r=a±bcos(θ) y r=a±bsen(θ) donde a > 0 y b > 0. Los caracoles con la expresion seno del ángulo se dibujan hacia arriba, si la operación es suma y se dibujan hacia abajo, si la operación es resta. Los caracoles con la expresion coseno del ángulo se dibujan hacia la derecha, si la operación es suma y se dibujan hacia la izquierda, si la operación es resta. La razón de a a b determina la forma de la gráfica del caracol.

Caracoles en Polares

 

 

     El cardiode es su gráfica cuando a/b=1.

     El caracol es con lazo cuando a/b<1.

     El caracol tiene una hendidura cuando a/b<2.

     El caracol es convexo cuando a/b>2.

 

 

 

   Veamos otro modelo de las gráficas polares, las rosas. Las formas particulares de cada rosa depende del valor de n, en algunas ocasiones es par y en otras es impar.

     Las rosas tienen ecuación r=acos(nθ) y r=asen(nθ) donde, a>0. Las rosas con la expresion seno del ángulo tienen el pétalo inicial donde nθ= π/2. Las rosas con la expresion coseno del ángulo tienen el pétalo inicial donde nθ=0. La separación de cada pétalo se obtiene dividiendo 2π entre la cantidad de pétalos.

Rosas en Polares

 

     Las rosas tienen ecuación r=acos(nθ) y r=asen(nθ) donde, a>0. Cuando la ecuación de la rosa tiene el valor de n impar, esta tiene n pétalos. Cuando la ecuación de la rosa tiene el valor de n par, la rosa tiene 2n pétalos.

      Un ejemplo puede ser, r=5sen(3θ).

      Otro ejemplo es, r=4cos(2θ).

 

 

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