Funciones Trigonométricas

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Creado por: l2dj
Día: August 06, 2012
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      Las  funciones trigonométricas, parece haber tenido su origen en las investigaciones de los Griegos de la medida indirecta de distancias y ángulos en la "esfera celestial" como así sus medidas de las tierras inundadas por el Río Nilo.  La palabra "trigonometría", basada en las palabras Griegas para las medidas de triángulo, fue utilizada por primera vez como un título para un texto por el matemático alemán Pitiscus en 1600 A.C.  

Originalmente, las funciones trigonométricas fueron restringidas a ángulos y  sus aplicaciones a la medida indirecta de ángulos y distancias. Estas funciones gradualmente se liberaron de las restricciones, y ahora existe funciones trigonométricas  de números reales.  Las aplicaciones modernas varían sobre muchos tipos de problemas y tienen poco o nada que ver con ángulos o triángulos.

 

Funciones Trigonométricas de Ángulos.

     Estas se definieron en el triángulo rectángulo para el ángulo indicado. Son conocidas como razones trigonométricas.

     Recuerde que un triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo recto (90°). La relación entre los lados en estos triángulos es c2=a2+b2.

Triángulo Rectángulo

Razones Trigonometricas

 

Funciones Trigonométricas de Números Reales.

     El número real t, que es la longitud del arco de la circunferencia unitaria U, es la medida en radianes del ángulo θ.

     Se puede asociar a t un punto único P(t) de la circunferencia unitaria U como se muestra en la figura de la derecha. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas del Punto P(t)=(x, y).

  Definicion Circulo Unitario

Círculo Unitario 

 Ejemplo 1: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

          Hallar la funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo cuyo lado terminal contiene el punto (-5, -12).

Solución:

     Primeramente localizamos el punto en el sistema de coordenadas rectangulares. Luego completamos el triángulo cerrando hacia el eje horizontal. Después se busca el radio del círculo donde queda inscrito el triángulo rectángulo.

      Luego se busca cada función trigonométrica aplicando las definiciones correspondiente. El seno del ángulo es la razón del valor de la coordenada en el eje vertical (y) y el radio (r). El coseno del ángulo es la razón de la coordenada en el eje horizontal (x) y el radio (r). La tangente del ángulo es la razón de la coordenada del eje vertical (y) y la coordenada del eje horizontal (x). 

 

 

 Funciones de un Punto 

 

          x2 + y2 = r2

     (-5)2 + (-12)2 = r2

            r=13

  sen(ɵ) = y/r = -12/13

    cos(ɵ) = x/r = -5/13

     tan(ɵ) = y/x = 12/5

                                            

 

 Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes

     Las funciones trigonométricas para arcos comunes se obtienen a partir de la circunferencia unitaria. Los arcos comunes expresados en grados son 0, 30, 45, 60 y 90 grados. En la siguiente figura veraz la tabla que resume el valor de las seis funciones trigonométricas para cada uno de estos arcos.

Valores Arcos Comunes

Veamos el círculo unitario y ejemplos donde se evalúa la fucnión trigonométrica de ángulos multíplos de estos arcos.

Circulo Unitario

 

Ejemplo 2: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

   

     Hallar el valor exacto de la expresión cos(4π/3)

Solución: 

Ejemplo Evaluar

Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares.

El ángulo 4π/3 es un múltiplo de π/3 por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 4π/3 se obtienen por simetría con el origen.

Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica cos(θ)=x en la circunferencia unitaria.

Finalmente cos(4π/3)= -1/2 porque la simetría con el origen implica signos opuesto de x y y.

cos(4π/3)= x = -1/2