Funciones Racionales

l2dj
Creado por: l2dj
Día: July 16, 2012
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     Una   función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es f(x)=(anxn+…+ax+a0)/(bmxm+...+bx+b0),  grado n en el numerador y  grado m en el denominador. Por tener variables en su denominador el dominio de la función excluye los valores que la hacen indefinida.

     Por lo general las funciones racionales excluyen valores de su dominio dado que tienen que mantener su denominador en un valor distinto de cero. Así también por lo regular tenemos valores en su alcance a los cuales la función tiene una tendencia y a veces no logra asumir. Por ejemplo la función racional más simple es f(x)=(1/x) y sus características son:

Grafica de (1/x)

 

     Su comportamiento cerca de los ejes, se debe a sus valores excluidos de su Dominio: todos los números reales excepto el cero y Alcance: todos los números reales excepto el cero;  por eso es que se acerca y no los toca dado que todos los pares ordenados sobre los ejes tienen uno de sus coordenadas igual a cero. A las líneas imaginarias, en este caso los ejes, se le conocen como las asíntotas de la función racional, de allí decimos que la función tiene comportamiento asintótico en los ejes.  En la medida que cambiamos los polinomios  así también cambian las asíntotas de su grafica. Las Asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por los menos una de las variables (x o y) tiende al infinito. Para saber el tipo de asíntota que tiene la gráfica de una función racional debemos conocer claramente los criterios de las mismas, veamos…


Criterios para hallar las asíntotas de las gráficas de funciones racionales

     Dado f(x)=(anxn+…+ax+a0)/(bmxm+...+bx+b0) tenemos que sus ...

Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca)

     Estas existen en los valores de la variable x que hace cero el denominador, en otras palabras en los valores de x excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica con líneas verticales  entrecortadas, para así excluir de la grafica todos los pares ordenados que tengan este valor de x.

 

     Si la función racional simplifica y con ello se cancela un factor no numérico, o sea con variable, entonces este valor deja de ser una asíntota vertical para ser un hueco en la gráfica.

Ejemplo #1:

     Mencione las asíntotas verticales de la función f(x)= (x-3)/(x2-9).

Solución:

Ejemplo Asintotas verticales

     Estas asíntotas se obtienen igualando a cero el denominador. En esta ecuación es necesario factorizar y simplificar antes de buscar las asíntotas verticales. Al simplificar un factor del numerador con un factor del denominador surge un hueco. La coordenada horizontal de este se obtiene igualando a cero el factor simplificado. En este ejemplo el hueco es un punto cuya coordenada en x es 3.

 

     Asíntotas verticales: x=-1         Huecos: Hay un hueco en x=3

 

Asíntotas Horizontales (la gráfica si puede  tocarlas o intersecarlas)

      Los valores de la variable y que se representa como una asíntota horizontal se obtiene al comparar los grados de los polinomios (numerador y denominador) de la función racional n y m, respectivamente, veamos…

i) Si n < m entonces y=0, el eje de x, es la asíntota horizontal

ii) Si n = m entonces y=an/bm, es la asíntota horizontal

iii) Si n > m entonces no hay asíntota horizontal.

 

Ejemplo #2:

Mencione la asíntota horizontal de la función f(x)= (4x2-1)/(3x2-9x).

Solución:

     El grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 2, por lo tanto cumple con el criterio ii (ambos grados son iguales), la ecuación de la asíntota horizontal se obtiene con  y=an/bm donde, an=4 y bm=3 por lo tanto esta será y=4/3 .

 Asíntotas Oblicuas u Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)

     Estas llegan cuando no hay asíntota horizontal. La asíntota que surge depende de la diferencia en los grados de los polinomios, si…

nm =1, hay Asíntota lineal conocida como A. Oblicua

nm =2, hay Asíntota Cuadrática

nm =3, hay Asíntota Cúbica y así sucesivamente…

     Sea cualquiera de estas asíntotas la que llegue siempre será el cociente de la división de los polinomios indicados en la función. Ósea,  igual a la parte entera de la división.

 

Ejemplo #3:

Mencione la asíntota oblicua u otra de la función f(x)= (3x2)/(x+2).

Solución:

Asintotas Oblicuas 

 

 

     El grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, por lo tanto cumple con el criterio iii, no hay asíntota horizontal y buscamos la diferencia en grado que es 1, la ecuación de la asíntota oblicua será  y = cociente. Esta asintota se obtiene realizando la división larga. En esta ocasión  y=3x-6 es la asíntota oblicua de la función.

Enfoque básico para el trazado de la gráfica de una función racional

Factorizar el numerador y el denominador de la fucnión racional.

Simplificar, hallar las asíntotas verticales y los huecos.

Buscar las asíntotas horizontales o de otro tipo.

Hacer la prueba de corte de la asíntota horizontal, oblicua o de otra.

Hallar las intersecciones en los ejes coordenados.

Estudiar los intervalos donde la fucnion es positiva y negativa.

Trazar la gráfica utilizando la informacion anterior.

 

Ejemplo #4  (oprime aqui para ver en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x)= (x2-5x+6)/(x3-9x).

Solución:

La forma factorizada es  f(x)= (x-2)/[x(x+3)]. Dibujar Grafica Racional

La función tiene asintotas verticales en x=0 y x=-3 y un hueco en x=3.

La asíntota horizontal es  y = 0  porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

La gráfica de la función corta la asíntota horizontal en x=2.

La intersección en el eje de x es (2,0) y el eje de y no se interseca.

La función es positiva en (-3,0)U(2,) y es negativa en (-,-3)U(0,2).