Funciones Logarítmicas

l2dj
Creado por: l2dj
Día: November 03, 2013
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      La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Por definición f(x)=loga(x) si y sólo si, x=ay. El dominio de la función logarítmica es el conjunto de números reales positivos y su alcance o recorrido es el conjunto de los números reales. La expresion loga(x) se lee logaritmo de x en base a. Veamos ejemplos donde se aplica esta  definición...

Ejemplo 1: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Escribe la ecuación 2x-1+3=7 en forma logarítmica.

Solución: 

Escribir Forma Logaritmica



          


Inicialmente se despeja para la expresión. Luego se identifica la base, el  resultado y el exponente. La base de la ecuación exponencial sigue siendo base en la ecuación logarítmica. El resultado de la ecuación exponencial será el argumento de la ecuación logarítmica. Finalmente el exponente de la ecuación exponencial pasa a ser el resultado de la ecuación logarítmica. Se simplifica la expresión logarítmica si es possible.



Ejemplo 2: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Escribe la ecuación 2x-1+3=7 en forma exponencial.

Solución: 

Escribir Forma Exponencial



          


    Inicialmente se identifica la base, el  resultado y el argumento (número al que se le  busca el logaritmo). La base de la ecuación logarítmica sigue siendo base en la ecuación exponencial. El argumento de la ecuación logarítmica será el resultado de la ecuación exponencial. Finalmente el resultado de la ecuación logarítmica pasa a ser el exponente de la ecuación exponencial. Se simplifica la expresión exponencial si es posible.




Características de las funciones logarítmicas

1) Su dominio es el conjunto de números reales mayors de cero.

2) Su alcance es el conjunto de números reales.

3) Si 0<a<1, entonces su gráfica tienen comportamiento decreciente en todo su dominio.

4) Si a>1,entonces su gráfica tiene comportamiento creciente en todo su dominio.

5) Pasa por el punto (1,0), intercepto en el eje de x es igual a 1, no hay interceptos en el eje de y.



Caracteristicas Logaritmicas

 

 

       Estas características se aprecian mejor con una representación gráfica como la que aparece al lado izquierdo. Ambas gráficas son continuas, pasan por los puntos (1,0) y (a,1). Estas funciones tienen como asíntota vertical al eje de y. La gráfica color morado representa una funcion decreciente, el valor de la base está entre cero y uno. La gráfica color azul representa una función creciente, el valor de la base es mayor de uno. 


 

 

 

Ejemplo 3 (oprime aquí para verlo en forma interactiva)

Dibuje la gráfica de f(x)=log3(x-1) .

Grafica CrecienteSolución:

Dominio: (-∞,∞)

Alcance: (1,∞)  

Como a=3>1 por lo tanto la gráfica de la función es creciente en todo su dominio.

Pasa por el punto (2,0), que  es el intercepto en el eje de x, no hay intersecciones en el eje de y.

limx→1+(log3(x-1))=-∞→x=1 es una asíntota vertical.


Reglas de los logaritmos

     Tanto las funciones exponenciales como las logarítmicas son conocidas como funciones trascendentales dado que no responden a todas las reglas de algebra  conocidas. Al trabajar con los logaritmos debemos tener en consideración sus reglas para representar expresiones logarítmicas en forma equivalente. Veamos las siguientes reglas...

 

 1.  loga(M*N) = loga(M) + loga(N)

                                                        

 2.  loga(M/N) = loga(M) - loga(N)


 3.  loga(Mk) = kloga(M)   


 

 

     El logaritmo de un producto se convierte en la suma de dos logaritmos en la misma base cuyos argumentos son los factores.

     El logaritmo de un cociente se convierte en la diferencia de dos logaritmos en la misma base cuyos argumentos son el numerador y el denominador.


     El exponente del argumento de un logaritmo se lleva al coeficiente del logaritmo.


     El cambio de base es muy utilizado para trabajar los logaritmos en la calculadora, algunas solo tienen dos teclas logarítmicas base 10 (log) y base e (ln) en ocasiones necesitamos el cambio de base. Tambien es utilizado para simplificar expresiones logarítmicas. La base de una expressión logarítmca  se cambia utilizando la siguiente fórmula: loga(x) = logb(x) / logb(a).


Ejemplo 4: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Escribe la expresión 2log(x) - (1/2)log(x-2) en forma simplificada.

Solución: 

Eje. 1 Propiedades



          



     Escribir la expresión a simplificar. Aplica la regla que coloca los coeficientes en el exponent de los argumentos. Depués la diferencia de dos logaritmos con base iguales se convierte en el logaritmo del cociente de los argumentos. Simplificar la expression, si es posible. 

Ejemplo 5: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Escribe la expresión 5(2log(x) + 3log(y) - 2log(z)) en forma simplificada.

Solución: 

Eje. 2 Propiedades



          

 

     Escribir la expresión a simplificar. Aplica la regla que coloca los coeficientes en el exponent de los argumentos. Despues la suma de dos logaritmos con bases iguales se convierte en el logaritmo del propducto de los argumentos. Luego la diferencia de dos logaritmos con base iguales se convierte en el logaritmo del cociente de los argumentos. Simplificar la expression, si es posible. Llevar el coeficiente del logaritmo al exponente del argumento. 

Ejemplo 6: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Escribe la expresión log2[(x4y)/(3t2)] en forma desarrollada.

Solución: 

Eje. 3 Propiedades


              

      Escribir la expresión logarítmica. El logaritmo de un cociente se convierte en la diferencia de dos logaritmos en la misma base cuyos argumentos son el numerador y denominador. El logaritmo de un producto se convierte en la suma de dos logaritmos en la misma base cuyos argumentos son los factores. El exponente se lleva al coeficiente del logaritmo. Depués se aplica la propiedad distributiva.

Ejemplo 7: (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

     Simplifica la expresión (log24)(log46)/log56.

Solución: 

Ejemplo cambio de base



           Escribir la expression logarítmica a simplificar.

Utilizar cambio de base para obtener una expression logarítmica con bases iguales.

Aplicar la regla de division que consiste en multiplicar por el recíproco del divisor.

Simplificar los factores iguales y multiplicar.

Utilizar cambio de base para escribir una expresión logarítmica.